JULIO

DISTRIBUCION DICRETA UNIFORME

La variable aleatoria discreta mas sencilla, es aquella que tomo sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina valores entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribucion uniforme discreta está dada por:

f(x) = 1/n

Para una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores 1,2, ..., n, la media es:

Y su desviación estándar es:

CARACTERISTICAS

- En la distribucion de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con idéntica probabilidad.

- El parámetro de la distribucion de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la inversa de los valores que puede tomar la variable aleatoria.

- La variable aleatoria que describe el numero de caras obtenidas al lanzar dos monedas legales sigue una probabilidad de distribución uniforme.

- La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), siempre coincide con uno de los valores de la misma observados en el experimento.

- La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), no depende del numero de valores que pueda tomar la variable.

EJEMPLOS

 Distribución de Bernoulli y Distribución Binomial

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso ().

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

Su formula es:

 

La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una Probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad Q = 1 - p. En la distribución Binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para N = 1, la Binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

N= Numero de eventos. 

X= Numero de éxitos. 

P= Probabilidad de éxito. 

Q= probabilidad de fracaso. 

F(X)= Probabilidad de tener X éxitos en un numero N de ensayos.

Sus propiedades son:

Media:  n.p

Varianza: n.p.q 

Desviación típica o estándar:  n.p.q 

Ejemplo:  Se quiere saber cuales la probabilidad de que encontremos 10 basureros dañados de 50 ubicados  en el barrio Tamasagra de San Juan De Pasto; se sabe que la probabilidad de que estén dañados es de 15.8%.

N= 50

X= 10

P= 15.8% → 0.158%

Q= 84.2% → 0.842%

       50!         . 0.158¹⁰ .  084.2⁴⁰    = 0.00205 

  (50-10)! 10! 

La probabilidad de encontrar 10 basureros dañados de 50 tomados es de 0.00205%, en distribución Binomial. 

Los basureros nos ayudan a mejorar el ambiente de la ciudad disminuyendo las emisiones de CO2 directo a la atmosfera

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: 

1. La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.
2. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles
3. Todos los ensayos realizados son independientes.
4. La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante.

EJEMPLO:

Media y varianza de la distribución Binomial Negativa

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer éxito.

Media y varianza de la distribución Geométrica

EJEMPLO

6.  DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados éxitos y los restantes son considerados fracasos.

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de éxito al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población esta cambiando.

EJEMPLO

Media y varianza de la distribución Hipergeométrica

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Ejemplo: se sabe que en promedio 2.25 basureros al día son destrozados por las personas; cuales la probabilidad de que en un día se dañen 2 basureros.

λ= 2.25 

k= 2

e= 2.71828

F(2;2.25)=   0.27% 

La probabilidad de que en un día se dañen dos basureros es de 0.27%. 

BIBLIOGRAFIA

Luis Rodríguez Ojeda.(2007). Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros. Guayaquil-Ecuador: ESPOL

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