Día de la primera prueba
06/06/2016
EXPERIMENTO ESTADÍSTICO
Características importantes de un experimento estadístico:
- Se conocen los resultados posibles antes del experimento.
- No se puede predecir el resultado de cada ensayo.
- Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares.
- Se puede predecir un patrón durante el desarrollo del experimento.
08/06/2016
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de se denomina punto muestral. Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.
EVENTOS
"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:
p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2)
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.
Un evento se puede definir como un subconjunto del espacio muestral S , se denota con letras mayúsculas A , B ,...Z.
Se eventos se pueden clasificas así:
Evento nulo: No contiene resultados
Evento simple: Contiene un solo resultado
Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes
PROBABILIDAD DE EVENTOS
"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:
- P(A)=0 , es la certeza de que no se realizara.
- P(A)=1 , es la certeza de que si se realizara.
- P(A)=1/2 , indica que existe la posibilidad de que se realice o no se realice.
Asignación de valores de probabilidad a eventos
1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de
intentos realizados.
2) Mediante modelos matemáticos.- Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos, tanto para variables discretas como continuas.
3) Asignación clásica.-Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).
Probabilidad de eventos simple,
AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
Función de Probabilidad de un Evento
P: S→ R
E → P(E), dominio P = S, rango P = [0, 1]
P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas:
13/06/2016
Probabilidad condicional
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define:
EJEMPLO: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
Observe que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades condicionadas.
La fórmula anterior se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A)
llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos
llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos
p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2)
En general p(A1 Ç A2 Ç A3 ...) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) ...
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.
13/06/2016
Axiomas de probabilidad condicional
Sea W: espacio muestral, P(W) conjunto de las partes de W, o conjunto de sucesos, o álgebra de sucesos. Se define probabilidad, o función de probabilidad, a cualquier función p que cumpla los axiomas siguientes:
si Ai Ç Aj = Æ "i ¹ j (sucesos mutuamente excluyentes)
A la estructura (W, P(W), p) se le denomina espacio de probabilidad.
Establecer claramente el espacio de probabilidad será el primer paso imprescindible para estudiar una experiencia aleatoria. Muchas de las dificultades que surgen, en la práctica, en el análisis estadístico de investigaciones clínicas tienen que ver con el establecimiento implícito y defectuoso de este espacio.
Obsérvese que es necesario asignar un número a todos los sucesos, no sólo a los sucesos elementales, pero si se ha asignado la probabilidad a los sucesos elementales, a través de la propiedad ii) se puede asignar a todos los demás.
Ejemplo:Para el experimento aleatorio de tirar u n dado, el espacio muestral es
W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.
Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1})= p({2})= ...= p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})= p({1})+ p({3})=2/6.
Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar"
Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar"
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que A y B son eventos independientes si P(A|B)= P(A) y P(B|A)= P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A
i) P(A|B)= ( P(AnB) )/ P(B) = ( P(A) P(B) ) / P(B) P(A|B)= P(A)
ii) P(B|A)= ( P(AnB) )/ P(A) = ( P(A) P(B) ) / P(A) P(B|A)= P(B)
* Eventos independientes de la probabilidad con 3 eventos
Si A, B, C son eventos mutuamente independientes, entonces
P(AnBnC) = P(A) P(B) P(C)
REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD:
Es aplicable siempre y cuando A Y B sean eventos no nulos del espacio muestral S.
Se representa como :
15/06/2016
PROBABILIDAD TOTAL
Sean B1, B2, B3... Bk , eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades.
a) Para todo i,j ( Bi n Bj) = 0; i ≠ j (Los eventos son excluyentes)
b) B1 U B2 U....U Bk = S
P(A) = P(B1) P(A|B1) +P(B2) P(A|B2)+..... P(Bk) P(A/Bk)
P(A)= SUMATORIA P(B1) P(A|B1)
CON RAMALES COMO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA:
EJEMPLO: En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses. b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña. Suceso V: seleccionar un niño.Suceso M: infante menor de 24 meses.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:
20/06/2016
VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias establecen correspondencias del espacio muestral S al conjunto de los números reales
Definición:
Distribución de Porbabilidad de una Variable aleatoria discreta
Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad
Definición:
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x)= P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x
ENTONCES, LA CORRESPONDENCIA
f: X ---> R
X ----> f(x)= P(X=x), dom f =x ; rg f es subconjunto [0,1]
EJEMPLO:
22/06/2016
Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria
f: Distribución de probabilidad de la variable aleatoria x
F: Distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria
F(x)= P(X ≤ x)= SUMATORIO f(x)
F: R ---> R domF=R; rg F es subconjunto de [0,1]
Propiedades de Probabilidad acumulada.
1.) 0 ≤ F(x) ≤ 1
2.) a ≤ b --> F(a) ≤ F(b); F es creciente
3.) P(x >a)= 1 - P(x≤a)= 1-F(a)
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
U= E(X): Media o valor esperado de x
ENTONCES:
Valor esperado de expresiones con una variable aleatoria
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
G(x): Alguna expresión con la variable aleatoria
ENTONCES:
27/06/2016
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.
DEFINICIÓN:
Sea X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
μ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X
Entonces:
Varianza de una variable aleatoria discreta
SEA: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
Formula para calcular la varianza.u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
Propiedades
29/06/20162016
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
SEA: X: Variable aleatoria
x: x1,x2,x3...xn tengan igual probabilidad
f(x) = 1/n ... x= x1,x2,x3..,xn
0 .... Para otro caso
EJEMPLO: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. Si X es la variable aleatoria correspondiente a los 6 posibles resultados. Halle la distribución de probabilidad. Calcular la probabilidad que X tome el valor de 3
x= 1,2,3,4,5,6
n= 6
f(x) = 1/n = 1/6....... x= 1,2,3,4,5,6
F(3)= 1/6
u= 3,5
G^2= 35/12
DISTRIBUCIÓN BERNULLÍ
En esta distribución solo existen 2 posibles resultados: éxito y fracaso
DONDE:
p= probabilidad de que exista éxito
q= probabilidad de que exista fracaso
p; x=1
q; 1-p; x=0
Posibles resultados: éxitos y fracasos
Características:
- Eventos son independientes
- Ensayos (n) finitos
- p= constante
DEFINICIÓN: X: Variable aleatoria discreta
x= 0,1,2,...,n
p= probabilidad de éxito
BIBLIOGRAFÍA: Luis Rodríguez Ojeda.(2007). Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros. Guayaquil-Ecuador: ESPOL
http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html
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